Теория хаоса

Аттракторы

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (от англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора.
Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.

Например, в системе, описывающей маятник, пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Теория хаоса на фондовом рынке

Теория хаоса – противоречивая и сложная теория, которая использовалась для объяснения некоторых особенностей систем, которые традиционно трудно было точно смоделировать. Финансовые рынки попадают в эту категорию с дополнительным преимуществом в виде богатого набора исторических данных. Один интересный финансовый феномен, который теория хаоса может помочь проиллюстрировать, если не объяснить, – это то, как кажущиеся здоровыми финансовые рынки могут подвергаться внезапным потрясениям и краху.

Сторонники теории хаоса считают, что цена – это последнее, что нужно изменить для акций, облигаций или других ценных бумаг. Это говорит о том, что периоды низкой волатильности цен не обязательно отражают истинное состояние рынка. Взгляд на цену как на запаздывающий индикатор ставит инвесторов в неведенье, поскольку они могут обнаружить обвалы до того, как они произойдут. Это, конечно, соответствует опыту большинства инвесторов, которые пережили события « черного лебедя» и финансовые кризисы. Некоторые из них, кажется, могут заранее подготовиться к спадам на рынке, но они часто копают гораздо глубже, чем данные о ценах, чтобы понять структурные недостатки, которые упускает из виду большая часть рынка.

Большой недостаток теории хаоса заключается в том, что она слишком часто используется как способ обесценить инвестирование. Хотя рынки почти невозможно предсказать в краткосрочной перспективе, в долгосрочной перспективе они более последовательны. Тот факт, что вы не можете рассчитать время следующего краха, не означает, что вы не должны инвестировать в акции с сильными фундаментальными показателями, которые имеют тенденцию работать в долгосрочной перспективе.

Закон

Закон (порядок, экстропия ) обеспечивает мир порядка, структуры и справедливости. Без него не могло бы существовать ничего материального. Закон кажется дружественным к жизни, но царство, контролируемое одним Законом, становится таким же застойным, как и мир, захваченный Хаосом. В « Спасти Танелорна » Царство Закона — бесплодная пустошь; без несправедливости, которую нужно исправить, и несправедливости, которую нужно исправить, Закон становится бессмысленным. В «Дочери сновидца» Ло сходит с ума и пытается захватить мир. Однако обычно Закон доброжелателен и прекрасен в своей совершенной регулярности.

Символ Закона

В то время, когда начинается большая часть цикла Вечного Чемпиона, Ло слаб и фактически изгнан с большинства смертных планов существования. Элрик должен призвать Белых Лордов на свой план, затрубив в Рог Судьбы. В царстве Корума уничтожение сначала Ариоха, а затем Ксиомбарга позволяет вернуть Ло. В конце концов, все боги сметены, оставляя расы сами решать свою судьбу.

Помимо Вечного Чемпиона, у Ло есть слуги, которые помогают Ло советами Защитнику или другими способами. Мишелла , Темная Госпожа Канелуна, Императрица Рассвета, является служительницей Закона в мире Элрика. Она служит Закону, соблазняя или направляя героев противопоставить свою волю чистому Хаосу, в результате чего земли Земли расширяются. В погоне за Танелорна , Хокмун приходит на уникальный «Сбор Мудрого,» посланники закона собрались из многих самолетов. На собрании присутствуют Сепириз из Нихрейна, который консультирует Элрика в Вестнике Бури ; Абарис волхвов; Ламсар Отшельник, который ведет Ракхира к Серым Лордам в «Спасти Танелорна»; Воин в Jet и золото (который также появляется в The Dragon в меченосцев ); Алерйон-а-Нивиш из Храма Закона, жрец Илаха в «Королеве мечей» ; и Серебряная королева из Феникса в Обсидиане .

Символ закона является одной Стрелой закона.

Лорды закона

В белых Лордах закона являются гораздо менее развиты , чем Владыки Хаоса. Большинство историй разворачиваются в космическом цикле, когда Хаос наиболее силен. Когда они появляются, Лорды Закона обычно более доброжелательны, чем Лорды Хаоса, которые соблазнительны, но также зловещие и склонны к выходу из себя. Однако смертным, встречавшимся с Владыками Закона, следует помнить, что то, что приносит пользу богам, не всегда соответствует целям смертных.

Донблас — единственный Лорд Закона, появляющийся в мире Элрика. В мире Чорума есть три главных Повелителя Закона, соответствующие трем Правителям Меча. Первый — Аркин , двойник Ариоха. При первой встрече его силы слабы, и он с трудом проявляется на плане Корума и выглядит нечеткой, но высокой фигурой. Когда его силы возвращаются, он появляется в виде гигантской (высотой с небо) красивой фигуры. Он является создателем Вадхага, своей любимой расы. Есть краткое упоминание о «Лорде Шалоде » (правителе вторых пяти планов мифов Корума), предположительно аналоге Ксиомбарга, но он не описан. Двойник Мабелоде не назван. Подобно Лордам Хаоса, Лорды Закона имеют своих вассалов. Единственное названное вассальное божество Ло — Илах , слуга Аркина.

Один из других лордов закона (или, в этом случае, одна из дам), упомянутых в саге фон Бека, — это Миггея , Безумная, герцогиня Долвицкая. Принимая облик прекрасной дамы в полном доспехах, верхом на белом волке верхом, она олицетворяет вырождение Закона, то есть полное уничтожение всех миров, испорченных Хаосом, то есть всех миров. Она — один из главных антагонистов в «Дочь воровки снов», она привела в качестве лакея Вечного врага, Гейнора, чтобы попытаться уничтожить Танелорна и убив Элрика, чтобы заполучить Гроза. Ее имя — анаграмма Мэгги, уменьшительного имени Маргарет Тэтчер , бывшего премьер-министра Соединенного Королевства.

Применение

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например, электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть существенные основания полагать о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы, похожие на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности.

В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.

Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.

Не бардак, а творческий беспорядок

Что касается серьезных задач, выполняемых по каким-либо стандартам или инструкциям, то тут, скорее всего, действительно, беспорядок в рабочем пространстве только отвлекает. А что, если дело касается творчества? Успешный финансист или директор крупного производства вряд ли будет жить в бардаке и разгроме. Такие люди часто приходят домой сильно уставшие и хотят видеть аккуратно разложенные по местам вещи. Порядок для них способствует релаксации. А вот в жилище художника или артиста царит хаос: тут и кружки с бокалами стоят в самых неожиданных местах, и вещи разбросаны, и книги с журналами раскиданы, и постель не заправлена. Просто потому, что именно в хаосе в голову быстрее приходят креативные идеи. Думаете, это стереотип? Нет, ученые возразят.

Психологи из Университета Миннесоты провели эксперимент. Студентам предложили придумать новые способы использования мячиков для пинг-понга. Их разделили на две группы: одну поместили в чистую и аккуратно прибранную комнату, других — в загроможденное вещами помещение. И получилось, что из царства хаоса студенты вернулись с более смелыми и интересными идеями.

Исследователи сделали вывод, что «правильная» среда, в которой всё структурировано и разложено по местам, делает человека более осторожным, заставляет следовать традициям, а беспорядок, наоборот, подталкивает к поиску новых решений.

Порядок из беспорядка

«Оказывается, за фасадом порядка может скрываться пугающий хаос, — заметил американский ученый и писатель Дуглас Хофштадтер в 1985 году, — а внутри хаоса все равно скрывается пугающий порядок». Хаотические системы непредсказуемы, но это не значит, что их нельзя описать. Они вовсе не беспорядочны в обыденном, бытовом смысле. Уже в 1963 году простая модель конвекции, предложенная Лоренцом, показала поразительную упорядоченность: ее графическим выражением оказался дивной красоты абстрактный рисунок, напоминающий крылья бабочки, линии которого никогда не повторяются и не пересекаются. «Аттрактор Лоренца», как позже назвали изображение, стал первой из многочисленных топологических моделей хаотических систем, в которых плоскости складывались и растягивались, воспроизводя поведение и траекторию нелинейных систем. В 1970 году Бенуа Мандельброт и его коллеги разработали новую — фрактальную — геометрию, в которой появление порядка из хаоса демонстрируется нерегулярными фигурами, имеющими свойство самоподобия — их нерегулярность повторяется независимо от масштаба.

Лоренц заключил, что долгосрочное прогнозирование погоды может быть в принципе невозможно, но этим выводы из теории хаотического поведения систем отнюдь не ограничиваются. Сложная система взаимозависимых факторов, определяющая климат, не уникальна — большинство и физических, и биологических систем имеют такой же характер, они описываются нелинейными уравнениями, и, следовательно, их модели будут неизбежно демонстрировать хаотическое поведение. Теория хаоса распространилась на множество научных дисциплин, связанных лишь присущей предметам их изучения беспорядочностью: турбулентность в динамике жидкостей, флуктуации в динамике популяций, циклы заболеваний в эпидемиологии, фибрилляции сердца в физиологии человека, движение планет и звезд в астрономии, потоки машин в городском трафике. С философской точки зрения способность хаотических с виду систем проявлять почти гипнотическую и завораживающе прекрасную упорядоченность позволяет нам надеяться, что Вселенная все-таки познаваема, и смириться с ее почти неприличной беспорядочностью.

Различия между случайными и хаотическими данными

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого «сигнала» отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.

Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

  1. Выбрать тестируемое состояние.
  2. Найти несколько подобных или почти подобных состояний.
  3. Сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат), или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределённую погрешность.

По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции, экспоненты Ляпунова, и т. д.). Чтобы определить состояние системы, обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений, чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.

Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её траектория постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности, и система показывает полностью новые динамические свойства. Статистические испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами появляется динамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.

Топоры

Закон против хаоса

Ось закона против хаоса в D&D предшествует добру и злу в правилах игры.

Первоначально ось закон / хаос определялась как различие между «верой в то, что все должно следовать определенному порядку и что соблюдение правил является естественным образом жизни», в отличие от «веры в то, что жизнь случайна, и что шанс и удача править миром». Согласно раннему своду правил, законные персонажи стремятся защищать интересы группы выше интересов отдельного лица и будут стремиться быть честными и подчиняться справедливым законам. Хаотические существа и индивидуумы ставили индивида выше группы и считали законы и честность неважными. В то время в своде правил указывалось, что «хаотическое поведение обычно совпадает с поведением, которое можно было бы назвать« злом »

Нейтральные существа и персонажи верят в важность как групп, так и отдельных лиц, и считают, что и закон, и хаос важны. Они верят в поддержание баланса между законом и хаосом и часто руководствуются личными интересами.

Третье издание правил D&D определяет «закон» и «хаос» следующим образом:

  • Закон подразумевает честь, надежность, подчинение авторитету и надежность. С другой стороны, законность может включать в себя ограниченность взглядов, реакционную приверженность традициям, суждение и отсутствие приспособляемости. Те, кто сознательно продвигает законность, говорят, что только законное поведение создает общество, в котором люди могут зависеть друг от друга и принимать правильные решения, будучи полностью уверенными в том, что другие будут действовать так, как им следует.
  • Хаос подразумевает свободу, приспособляемость и гибкость. С другой стороны, хаос может включать безрассудство, негодование по отношению к законной власти, произвольные действия и безответственность. Те, кто продвигает хаотичное поведение, говорят, что только неограниченная личная свобода позволяет людям в полной мере выражать себя и позволяет обществу извлекать выгоду из потенциала, заложенного в их личности.
  • Тот, кто нейтрально относится к закону и хаосу, обычно уважает власть и не чувствует ни принуждения следовать правилам, ни принуждения к бунту. Они честны, но могут поддаться искушению солгать или обмануть других, если им это удобно.

Добро против зла

Конфликт добра и зла — распространенный мотив в D&D и другой фантастической литературе . Хотя игровые персонажи могут путешествовать ради личной выгоды, а не из альтруистических побуждений, обычно предполагается, что игровые персонажи будут противостоять злу и будут стремиться сражаться со злыми существами.

Третье издание правил D&D определяет «добро» и «зло» следующим образом:

  • Добро подразумевает альтруизм, уважение к жизни и заботу о достоинстве живых существ. Хорошие персонажи приносят личные жертвы, чтобы помочь другим.
  • Зло подразумевает причинение вреда, угнетение и убийство других. Некоторые злые существа просто не сострадательны к другим и убивают без угрызений совести, если это удобно или если это можно настроить. Другие активно преследуют зло, убивая ради спорта или из-за какого-то злого божества или хозяина.
  • Люди, нейтральные по отношению к добру и злу, испытывают угрызения совести против убийства невинных, но не готовы приносить жертвы, чтобы защитить или помочь другим. Нейтральные люди привязаны к другим в личных отношениях.

В игре хорошими считаются паладины, герои-альтруисты и существа, такие как ангелы. Злодеи и жестокие преступники считаются злыми, как и изначально злые существа, такие как демоны и большая часть нежити. Животные считаются нейтральными, даже когда они нападают на невинных, потому что они действуют в соответствии с естественным инстинктом и не обладают разумом, чтобы принимать моральные решения; в пятом издании это выражается в том, что таких зверей называют «неприсоединившимися». Согласно Грегу Литтманну, заранее определенное мировоззрение монстров означает, что они добрые или злые по своей природе. Тем не менее, правила допускают индивидуальные различия, позволяя «красному дракону перейти на сторону добра», хотя Литтманн признает редкость таких ситуаций.

Хотя хороших персонажей можно определить как уважение к другим, Литтманн отмечает, что это не обязательно распространяется на обращение со злыми существами — «группа хороших персонажей рубит и обугливает племя орков до такой степени курения гамбургера без малейшего намека на колебания или сожаления «.

Странные аттракторы

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера, которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера, которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Эффект бабочки: примеры из жизни, описание

Жизнь сама по себе является хаотичной, и даже небольшие изменения могут привести к ужасным последствиям. Существует масса примеров тому.

Примеры эффекта бабочки в жизни:

  1. Снос Берлинской стены. Это случилось из-за неправильной трактовки пресс-секретарем нового закона. В документе указывалось, что некоторым восточным немцам иногда можно посещать западный Берлин. Но в законе не было четко прописано тонкостей. Поэтому решили, что закон касается всех немцев и в одно время масса народа решила пересечь границу. Так как пограничники были обескуражены, недовольство среди масс росло. Огромное количество людей просто снесло стену, чтобы пересечь границу.
  2. Вторая мировая война. История действительно показательная. В 1918 году один британский солдат не убил раненного немца и примерно через 20 лет этот немец стал причиной второй мировой войны. Если бы военный застрелил тогда Гитлера, войны могло бы и не быть.
  3. Возникновение терроризма. Все началось с убитой собаки, которую член городского совета накормил едой со стеклом. Маленький мальчик, который был хозяином собаки, всем в округе рассказал про смерть пса и виновника. Таким образом, член городского совета не попал в Конгресс. После этого случая мальчик стал интересоваться политикой и уже, будучи взрослым, попал в Конгресс. Он стал организатором американской помощи для афганцев. Таким образом, войну выиграли моджахеды, дав начало организациям Талибан и Аль-Каида. Это стало точкой отправления террористических актов.

Эффект бабочки: примеры из жизни, описание

Как видите, сложную систему контролировать невозможно и даже незначительные изменения могут привести к пагубным последствиям.

Чайки и бабочки

Почему симуляция Лоренца повела себя хаотически? Уравнения, используемые в предсказании погоды, описывают изменение некоторых существенных параметров, таких как температура, влажность, скорость и направление ветра. Важная особенность всех этих параметров в их взаимозависимости: например, уровень влажности зависит от температуры, а температура, в свою очередь, — от влажности.

В математических терминах это означает, что переменные являются функциями самих себя, и отношения между ними описываются нелинейными уравнениями, то есть на графике эти уравнения невозможно представить в виде прямой.

Одно из важнейших свойств системы нелинейных уравнений — чувствительность к начальным условиям, которая так удивила Лоренца в 1961 году. Позже он доказал, что эта чувствительность не зависит от сложности, поскольку проявляется и в более простых моделях (например, конвекции), которые описываются всего тремя нелинейными уравнениями. В 1963 году один из коллег метеоролога заметил, что если идеи Лоренца верны, то «чайка одним взмахом крыла может изменить погоду во всем мире». К 1972 году живое существо, способное нарушить баланс в атмосфере, стало еще меньше — вышедшая в этом году статья Лоренца называлась «Может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Так появился «эффект бабочки».

Аттрактор

Аттрактор (англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотичным) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Наряду с этим, любой аттрактор имеет определенные размеры границ, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее и маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (или складывание и вытягивание соответственно) хаотичного аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации (этот подход применил в своей Теории Пассионарности Л. Н. Гумилев, назвав такие явления «оберрацией близости» и «оберрацией дальности»).

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотичных системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в Хаосе не существует.

Также надо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой Хаоса, т.е. численным выражением хаотичности самой системы. Другой статистической мерой Хаоса служит размерность аттрактора.

Подводя промежуточный итог, заметим, что основным свойством хаотичных аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

На этом этапе поговорим о пересечении фрактальной геометрии и Теории Хаоса. А парадокс заключен в том, что хотя фрактал и является одним из инструментов Теории Хаоса, по сути он — противоположность Хаоса.

Главное различие между Хаосом и Фракталом состоит в том, что первый является динамическим явлением, а второй — статическим. Под динамическим свойством Хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector